初中數學競賽專題：整數的整除性
1.整數的整除性的有關概念、性質
(1)整除的定義：對于兩個整數a、d(d≠0)，若存在一個整數p，使得成立，則稱d整除a，或a被d整除，記作d|a。
若d不能整除a，則記作da，如2|6，46。
(2)性質
1)若b|a，則b|(-a)，且對任意的非零整數m有bm|am
2)若a|b，b|a，則|a|=|b|;
3)若b|a，c|b，則c|a
4)若b|ac，而(a，b)=1((a，b)=1表示a、b互質，則b|c;
5)若b|ac，而b為質數，則b|a，或b|c;
6)若c|a，c|b，則c|(ma+nb)，其中m、n為任意整數(這一性質還可以推廣到更多項的和)
例1(1987年北京初二數學競賽題)x，y，z均為整數，若11|(7x+2y-5z)，求證：11|(3x-7y+12z)。
證明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)
而11|11(3x-2y+3z),
且11|(7x+2y-5z),
∴11|4(3x-7y+12z)
又(11,4)=1
∴11|(3x-7y+12z).
2.整除性問題的證明方法
(1)利用數的整除性特征(見第二講)
(2)利用連續整數之積的性質
①任意兩個連續整數之積必定是一個奇數與一個偶數之一積，因此一定可被2整除。
②任意三個連續整數之中至少有一個偶數且至少有一個是3的倍數，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
這個性質可以推廣到任意個整數連續之積。
例4一整數a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.
證明∵a2+23=(a2-1)+24，只需證a2-1可以被24整除即可.
∵2.∴a為奇數.設a=2k+1(k為整數),
則a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).
∵k、k+1為二個連續整數，故k(k+1)必能被2整除，
∴8|4k(k+1)，即8|(a2-1).
又∵(a-1)，a，(a+1)為三個連續整數，其積必被3整除，即3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1)，
∵3a，∴3|(a2-1).3與8互質,∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.
(3)利用整數的奇偶性
下面我們應用第三講介紹的整數奇偶性的有關知識來解幾個整數問題.
例7(美國第4屆數學邀請賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數n的最大值是多少?
解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.
若n+100能被n+10整除,則900也能被n+10整除.而且,當n+10的值為最大時,相應地n的值為最大.因為900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.
1.選擇題
(1)(1987年上海初中數學競賽題)若數n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，則不是n的因數的最小質數是().
(A)19(B)17(C)13(D)非上述答案
(2)在整數0、1、2…、8、9中質數有x個，偶數有y個，完全平方數有z個，則x+y+z等于().
(A)14(B)13(C)12(D)11(E)10
(3)可除盡311+518的最小整數是().
(A)2(B)3(C)5(D)311+518(E)以上都不是
2.填空題
(1)(1973年加拿大數學競賽題)把100000表示為兩個整數的乘積，使其中沒有一個是10的整倍數的表達式為__________.
(2)一個自然數與3的和是5的倍數,與3的差是6的倍數,這樣的自然數中最小的是_________.
(3)(1989年全國初中聯賽題)在十進制中,各位數碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數是________.
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