《初中數學》競賽輔導16
-因式分解
因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，具有一定的靈活性和技巧性，下面我們在初中教材已經介紹過基本方法的基礎上，結合競賽再補充介紹添項、拆項法，待定系數法、換元法、對稱式的分解等有關內容和方法.
1.添項.拆項法
添項、拆項的目的是在各項間制造公因式或便于利用公式分解因式，解題時要注意觀察分析題目的特點.
例1 (1986年揚州初一數學競賽題)分解因式
(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2
解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2
=[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x]
=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)
=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
例2(第11屆國際數學競賽題)證明：具有如下性質的自然數a有無窮多個，對于任意的自然數m.z=n4+a都不是素數.
證明 設a=4k4(k為大于1的自然數)，則
z=n4+a
=n4+4k4
=n4+4n2k2+4k4-4n2k2
=(n2+2k2)2-4n2k2
=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)
=[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2]. ①
∵k為大于1的自然數，
∴(n+k)2+k2>1, (n-k)2+k2>1
故①的右邊兩個因子都大于1，故當k>1時，z是合數.
由于大于1的自然數k有無窮多個，故有無窮多個自然數a，使n4+a對一切自然數n總非素數
2.待定系數法
若兩多項式f(x)=g(x)，則它們同次的對應項系數一定相等，利用這條結論可將某些因式分解的問題轉化為解方程組的問題來解決.
例3分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4.
解 由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可設
3x2+5xy-2y2+x+9y-4
=(3x-y+a)(x+2y+b)
=3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab.
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比較兩邊系數得
由①,②聯立得a=4,b=-1,代入③式適合.
∴原式=(3x-y+4)(x+2y-1).
例4 (1963年北京中學生數學競賽試題)已知多項式x3+bx2+cx+d的系數都是整數,若bd+cd是奇數,,證明這個多項式不能分解為兩個整系數多項式的乘積.
證明 設
x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)
=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr
(其中p、q、r均為整數)
比較兩邊系數得 pr=d.
又 bd+cd=d(b+c)是奇數,故b+c與d均為奇數,那么pr也是奇數,即p與r也是奇數.今以x=1代入(因為它是恒等式)得
1+b+c+d=(1+p)(1+q+r). ①
∵b+c,d為奇數,∴1+b+c+d也為奇數,而p為奇數,∴1+p為偶數.
∴(1+p)(1+q+r)為偶數.這說明等式①的左端為奇數,右端為偶數,這是不可能的.
所以,所述多項式不能分解成兩個整系數多項式的乘積.
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