《初中數學》競賽輔導17
多邊形的面積和面積變換
本講在初二幾何范圍內，通過實例對平面圖形的面積和用面積變換解幾何題作些簡單介紹.所用知識不多，簡列如下：
(1) 全等形的面積相等;
(2) 多邊形的面積定理(三角形、梯形等，略);
(3) 等底等高的三角形，平行四邊形，梯形的面積相等(對梯形底相等應理解為兩底和相等);
(4) 等底(等高)的三角形，平行四邊形，梯形的面積比等于這底上的高(這高對應的底)的比.
以下約定以△ABC同時表示△ABC的面積.
1. 多邊形的面積
例1 (第34屆美國中學數學競賽題)在圖23-1的平面圖形中，邊AF與CD平行，BC與ED平行，各邊長為1，且∠FAB=∠BCD= ，該圖形的面積是( )
(A) (B)1 (C) (D) (E)2
分析 將這個圖形分解為若干個基本圖形——三角形，連BF、BE、BD得四個與△ABF全等的正三角形，進一步計算可得圖形面積為 .所以選(D).
例2 (第5屆美國數學邀請賽試題)如圖23-2五條線段把矩形ABCD分成了面積相等的四部分，其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而PQ平行于AB.如果BC=19cm，PQ=87cm，則AB的長度等于_________.
分析 如圖,延長PQ交AD、CB于E、F.由YB+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ與梯形PQYX面積相等,故E、F分別為AD、CB的中點.
而SAXPWD=SBYQZC，∴EP=QF，設為e.
由SAXPWD=SPQZW 得
∴2e=106，
∴AB=2e+87=193.
例3.如圖23-3四邊形ABCD的兩邊BA和CD相交于G，E、F各為BD、AC的中點.試證：△EFG的面積等于四邊形ABCD面積的四分之一.
分析 注意到E、F各為BD、AC的中點，連結EA、EC和FD.則
如果能夠證明△EFG的面積等于四邊形AEFD的面積，問題即可解決.為此，取AD的中點P，連PE、PF，則PE∥GB，PF∥GC.于是△GEP=△AEP，△GFP=△DFP.而△PEF公用.∴△GEF=SAEFD.至此，問題得解.證明略.
2. 利用面積變換解幾何題
先看一個例子.
例4.以直角三角形ABC的兩直角邊AC、BC為一邊各向外側作正方形ACDE、BCGH，連結BE、AH分別交AC、BC于P、Q.求證:CP=CQ.
證明 (如圖23-4)顯然S△GCQ=S△HCQ，
∵HB∥AG，
∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC.
同理,S△BDP=S△ABC.
∴S△AGQ=S△BDP,
∴CQ·AG=CP·BD.
∵AG=AC+GC
=DC+BC=BD，
∴CP=CQ.
此例是關于平面圖形中線段的等式，看似與面積無關，然而我們卻利用圖形之間面積的等量關系達到了證明的目的.這種不考慮圖形的形狀只從圖形的面積關系入手來研究圖形的度量關系和位置關系的方法即所謂面積變換.
例5 (第37屆美國中學數學競賽題)圖23-5中,ABCDE是正五邊形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE的延長線上所引的垂線.設O是正五邊形的中心,若OP=1,則AO+AQ+AR等于( ).
(A)3 (B)1+ (C)4 (D)2+ (E)5
分析 因題設中AP、AQ、AR分別與CD、CB、DE垂直，這就便于利用面積作媒介.注意到
即 由CD=BC=DE，
則AP+AQ+AR=5·OP
故AO+AQ+AR=4.應選(C).
例6 (第37屆美國中學數學競賽題)不等邊三角形ABC的兩條高的長度分別為4和12.若第三條高也為整數，那么它的長度最大可能是( ).
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
(E)不同于(A)-(D)的答案
解 設△ABC第三邊上的高為h，面積為S，則該三角形的三邊可表示為 顯見 > .據“三角形兩邊之和大于第三邊”有 + > ， + > .
解得3
例7 圖23-6中，已知AB是直角三角形ABC的斜邊，在射線AC、BC上各取一點 、 ，使 P、Q是△ABC內兩點，如果P，Q到△ABC各邊的距離之和相等，則PQ∥ ;反之亦然.
證明 設P、Q到△ABC各邊的距離之和分別為S(P)，S(Q).連PA、PB、P 、P ，不難發現△APB+△AP +△ PB-△ P =△ABC-△ C(定值).
于是
= 同理， 顯然，當S(P)=S(Q)時， ，
∴PQ∥ 反之，當PQ∥ 時， ∴S(P)=S(Q).
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