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數學:中考中的圖形變換

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2018-07-20 15:42:06 來源:中考網 202
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隨著新課改的實施,中考命題趨勢逐步削弱了對傳統數學問題的單純考查,試題情境一般存在開放性、探索性、操作性(平移、旋轉、翻折),許多問題是以發現、猜測和探究為主線的新式題型。下面我們談談近幾年中考的熱點問題——圖形變換。

圖形變換包含平移、軸對稱、旋轉、位似四大變換,近年全國各地的中考數學試題出現了不少有關圖形變換的試題。作為新增加的內容,圖形與變換對于培養同學們空間觀念、拓展幾何的活動視野和研究途徑,都具有其他內容無法替代的作用,因而,圖形與變換在近年來的中考數學試題中占有較大的比重,近幾年在天津市中考試卷中也出現了許多有關圖形與變換的新題型,縱觀三年天津卷可知:2008年有關圖形變換的題目共占14分;2009年共16分;2010年共占19分。由此可見,所含分值在逐年提高,不但如此,題目的靈活性和綜合運用能力要求也在提高。天津卷連續三年在解答題第25題都考查了圖形變換的相關內容,本文列舉旋轉變換和軸對稱變換題型加以分析說明:

旋轉問題

旋轉問題要明確旋轉的三要素:旋轉中心(繞著哪個點)、旋轉方向(順時針、逆時針)、旋轉角度。

除此之外,還要始終把握旋轉的性質:

1.對應點到旋轉中心的距離相等;

2.對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;

3.旋轉前、后的圖形全等(旋轉前后兩圖形的對應線段、對應角分別相等)。

旋轉問題可歸結為點的旋轉、線段的旋轉和圖形(一般為三角形)的旋轉。在旋轉問題中往往將陌生問題轉化為我們熟知的三角形問題去解決,即要去尋找或構造等邊三角形、等腰直角三角形、等腰三角形等,將題目由繁化簡。


例1.(2010天津)如圖,已知正方形ABCD的邊長為3,E為CD邊上一點,DE=1。以點A為中心,把△ADE順時針旋轉90°,得△ABE',連接EE',則EE'的長等于。

【答案】EE'=2■

分析:此題是對學生勾股定理、等腰直角三角形和旋轉的性質綜合運用能力的考查。

∵旋轉前后圖形全等

∴由△ADE順時針旋轉90°后得△ABE'可知

△ADE≌△ABE',即AE'=AE

∴△AE'E為等腰直角三角形

∴AE':AE:E'E=1:1:■,在Rt△ADE中,由勾股定理可知AE=■,故EE'=2■。

例2.(2010安徽蚌埠)如圖1、2是兩個相似比為1:■的等腰直角三角形,將兩個三角形如圖3放置,小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合。

⑴在圖3中,繞點D旋轉小直角三角形,使兩直角邊分別與AC、BC交于點E、F,如圖4。求證:AE2+BF2=EF2;

⑵若在圖3中,繞點C旋轉小直角三角形,使它的斜邊和CD延長線分別與AB交于點E、F,如圖5,此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;

⑶如圖6,在正方形ABCD中,E、F分別是邊BC、CD上的點,滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半,AE、AF分別與對角線BD交于M、N,試問線段BM、MN、DN能否構成三角形的三邊長?若能,指出三角形的形狀,并給出證明;若不能,請說明理由。

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