附錄 1：題型示例 （容易題）1． 0 2016 =【B】 A．0 B．1 C．-2015 D．2015
（容易題）2．某市地下調蓄設施的蓄水能力達到 140000 立方米．將 140000 用科學記數法表示 應為【B】 A．14×104 B．1．4×105 C．1．4×106 D．0．14×106 （容易題）3．A,B 是數軸上兩點,線段 AB 上的點表示的數中,有互為相反數的是【B】
A． B．
C． D．
（容易題）4．2x3可以表示為【A】
A．x3＋x3 B．x3·x3 C．2x·2x·2x D．8x
（容易題）5． 不等式組
2x＜6， x＋1≥－4 的解集是【A】
A．－5≤x＜3 B．－5＜x＜3 C．x≥－5 D．x＜3 （容易題）6．下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是【C】
A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正五邊形
（容易題）7．如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是【A】
第7題 俯視圖
主視圖 左視圖
2 0 1 BA 1 1  0 1 2 BA
0 2 3 BA 1 0 2 3 BA 1
55
A．圓錐 B．圓柱
C．三棱錐 D．長方體
（容易題）8．如圖，是由7個大小相同的小正方體堆砌而成的幾何體，若從標有①、②、③、④
的四個小正方體中取走一個后，余下幾何體與原幾何體的主視圖相同，
則取走的正方體是（ ）【A】
A．① B．② C．③ D．④
（容易題）9．如圖所示的幾何體的俯視圖是【B】
（容易題）10．在端午節到來之前，學校食堂推薦了 A，B，C 三家粽子專賣店，對全校師生愛吃
哪家的粽子作調查，以決定最終向哪家店采購．下面的統計量中最值得關注的是【D】
A．方差 B．平均數 C．中位數 D．眾數 （容易題）11． 如圖，點 E，F 在線段 BC 上，△ABF 與△DEC 全等，點 A 與點 D，
點 B 與點 C 是對應頂點，AF 與 DE 交于點 M，則∠DEC＝【D】
A． ∠B B． ∠A C． ∠EMF D． ∠AFB （容易題）12．△ABC 中，AB<BC，用尺規作圖 ．．．．在 BC 上取一點 P，使 PA+PC=BC，
則下列作法正確的是【D】
C DBA正 面
第 9 題
第 8 題
第 11 題
56
第15題
（容易題）13． 如圖，是在直角坐標系中圍棋子擺出的圖案，若再擺放一黑一白兩枚棋子，使 9
枚棋子組成的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則這兩枚棋子的坐標是【A】
A．黑（3，3），白（3，1）
B．黑（3，1） ，白（3，3）
C．黑（1，5） ，白（5，5）
D．黑（3，2），白（3，3） （容易題）14． 如圖，DE 是△ABC 的中位線，過點 C 作 CF ∥BD 交 DE 的延長線于
點 F，則下列結論正確的是【B】
A． EF＝CF B． EF＝DE C． CF＜BD D． EF＞DE
（容易題）15．如圖，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中點 M 與點 C 被湖隔開，若測得 AM
的長為 1．2km，則 M，C 兩點間的距離為【D】
A．0．5km B．0．6km
C．0．9km D．1．2km
（容易題）16．已知三個數 a、b 、 c 的平均數是 0，則這三個數在數軸上表示的位置不可能 ．．．是（ ）
【D】
（中等題）17．如圖，用十字形方框從日歷表中框出 5 個數，已知這 5 個數的和為 5a-5，a 是方框①,
②, ③, ④中的一個數，則數 a 所在的方框是（ ） 【C】
A．① B．②
C．③ D．④
第 13 題
第 14 題
第 17 題
57
（中等題）18． 動物學家通過大量的調查估計，某種動物活到 20 歲的概率為 0．8，
活到 25 歲的概率為 0．6，則現年 20 歲的這種動物活到 25 歲的概率是【B】
A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．48 （中等題）19 已知△ABC 的周長是 l，BC＝l－2AB，則下列直線一定為△ABC 的對稱軸的是【C】 A．△ABC 的邊 AB 的中垂線 B．∠ACB 的平分線所在的直線 C．△ABC 的邊 BC 上的中線所在的直線 D．△ABC 的邊 AC 上的高所在的直線
（中等題） 20．已知甲、乙兩個函數圖像上部分點的橫坐標 x 與對應的縱坐標 y 分別如下表所示．若
這兩個函數圖像僅有一個交點，則交點的縱坐標 y 是【D】
A．0 B．1
C．2 D．3
（中等題）21．平面直角 坐標系中，已 知□ABCD 的三個頂 點坐標分別是 A（m，n），
B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），則點 D 的坐標是 【A】
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
（中等題）22．已知二次函數 2 y ax bx c    的圖像如圖所示，下列結論正確的是【D】 A． 0 a B． 0 c C． 2 4 0 b ac   D． 0 a b c   
x 1 2 3 4 y 0 1 2 3
x －2 2 4 6 y 0 2 3 4
甲 乙
第 22 題
58
（中等題）23． 如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，將 △ABC 折疊，使點 A 落在 BC 邊上的點 D 處，EF 為折痕，若 AE＝3，
則 sin∠BFD 的值為【A】
A．
3 1
B．
3 22
C．
4 2
D．
5 3
（稍難題）24．已知點 A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一個 函數圖像上 ，
這個函數 圖像可以是【C】
A B C D
（稍難題）25． 如圖，在平面直角坐標系中，點 A（0，2），在 x 軸上任 取一點 M，完成以下作圖步驟：①連接 AM，作線段 AM 的垂直平分線 l1， 過點 M 作 x 軸的垂線 l2，記 l1，l2的交點為 P；②在 x 軸上多次改變點 M 的位置，用①的方法得到相應的點 P，把這些點用平滑的曲線順次連接起 來，得到的曲線是【B】 A．直線 B．拋物線 C．雙曲線 D．雙曲線的一支
（稍難題）26．設 681×2019－681×2018＝a，2015×2016－2013×2018＝b， 6782＋1358＋690＋678 ＝c，則 a，b，c 的大小關系是【A】 A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
（容易題）27．計算：  3 279 ．【0】
（容易題）28．分解因式： m mx  2 = ． 【   ) 1(1  xxm 】
（容易題）29．計算：     1 3 1 3 mm m ． 【3】
第 23 題
第 25 題
xO
y
O
y
x O
y
x
O
y
x
59
第 33 題
（容易題）30．說明命題“ 4 x  ，則 2 16 x  ”是假命題的一個反例可以
是 ．
【答案不唯一，如“0 4  ，而 2 0 16  ”】
（容易題）31．如圖 4，在矩形 ABCD 中，對角線 AC，BD 相交于點 O，E 是邊
AD 的中點，若 AC＝10，DC＝2 5，則∠EBD 的大小約為 ． （參考數據：tan26°34′≈1 2 ） 【18 度 26 分】 （容易題）32．寫出一個 y 關于 x 的二次函數的解析式，且它的圖像的頂點在 y 軸上： ． 【如 2 xy  （只要 c bxa xy   2 中 0 ,0  ba 即可）】
（容易題）33．右圖是由射線 AB，BC，CD，DE，組成的平面圖形，
則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____．【360°】 （容易題）34．一個不透明的袋子中有 3 個紅球和 2 個黃球，這些球除顏色外完
全相同．從袋子中隨機摸出 1 個球，這個球是黃球的概率為 ．【
5 2
】
（容易題）35．如圖，將一副三角尺疊放在一起，則圖中∠α的度數為 °．【75】 （中等題）36．如圖，在△ABC 中，AB=AC，點 D 在邊 BC 上，連接 AD，將線段 AD
繞點 A 逆時針旋轉到 AE，使得∠DAE=∠BAC，連接 DE 交 AC 于 F．請寫出圖中一對相似的三
角形： ． （只要寫出一對即可） 【如：△AFE∽△DFC，△ABD∽△AEF，△ABD∽△DCF， △ADF∽△ACD，△ABC∽△ADE；】 （中等題）37．如圖所示的兩段弧中，位于上方的弧半徑為 r 上，下方的弧半徑為 r 下，
4 6 

第35題

O

E
 
圖6

D

C

B

A
第31題
60
則 r 上 r 下． （填“＞”“=”“＜”）【＜】 （中等題）38．如圖，正方形 ABCD 中，點 E 、 F 分別為 AB、CD 上的點，且 AB CFA E 3 1 ， 點 O 為線段 EF 的中點，過點 O 作直線與正方形的一組對邊分別交于 P 、 Q 兩點，并且滿足 PQ=EF．則這樣的直線 PQ（不同于 EF）有 條．【3】
（中等題）39．公元 3 世紀，我國古代數學家劉徽就能利用近似公式 a2＋r≈a＋ r 2a
得到 2的近似
值 ． 他 的 算 法 是 ： 先 將 2看 成 12＋1， 由 近 似 公 式 得 2≈1＋ 1 2×1
＝3 2
； 再 將 2看 成
（3 2
）2＋（－1 4
），由近似公式得 2≈3 2
＋
－1 4 2×3 2
＝17 12
；…依此算法，所得 2的近似值會越來越精
確．當 2取得近似值577 408 時，近似公式中的 r 是 ． 【－ 1 144
】
（稍難題）40．如圖，6 個形狀，大小完全相同的菱形組成網格，菱形的頂點稱為格點．已知菱
形的一個內角為 60°，A，B，C 都在格點上，則 tan ABC  的值是 ． 【 3 2
】 （稍難題）41．如圖，⊙O 的弦 BC 長為 8，點 A 是⊙O 上一動點，且∠BAC=  45 ，點 D，E 分
別是 BC， AB的中點，則DE長的最大值是 ． 【 2 4 】
（稍難題）42．已知點 P（m，n）在拋物線 y＝ax2－x－a 上，當 m≥－1 時，總
A
B C
E
D
FO
第38題E
B
A
CD
F
第36題
第 37 題
第 40 題
A
B
C
A
B A
C
D A
E A
O A 第 41 題
→

圖5

A

B

C

O
第 43 題
61
有 n≤1 成立，則 a 的取值范圍是 ．【－1 2
≤a＜0】
（稍難題） 43．如圖，已知∠ABC＝90°， AB＝πr， BC＝πr 2
，半徑為 r 的⊙O 從點 A 出發，沿 A→B→C
方向滾動到點 C 時停止．則圓心 O 運動的路程是 ． 2πr
（容易題）44．計算：10＋8×(－1 2
)2－2÷1 5 ．
解： 10＋8×(－1 2
)2－2÷1 5
＝10＋8×1 4
－2×5
＝10＋2－10 ＝2． （容易題）45．計算： 2 0 2 2cos60 (3.14 π)     o ．
解：原式=
1 1 2 1 4 2    1 4  ．
（容易題）46．化簡： ) 4()2( 2   x xx ．
解：原式= x xxx 4 44 22   =4 （容易題）47．先化簡，再求值： 2 1( 1 )
1
x
x x  

，其中 5 1 x  ．
解：原式= 1
( 1)( 1) x x x x x     = 1 1x  ． 當 5 1 x  時， 原式= 1 5 1 1   = 1 5 = 5 5 ．
62
（容易題）48．解方程組
x＋y＝1， 4x＋y＝－8．
解：
x＋y＝1， 4x＋y＝－8． ②－①，得 3x＝－9， x＝－3 將 x＝－3 代入①，得 y＝4．
則這個方程組的解是
x＝－3， y＝4．
（容易題）49．解不等式
71 2 3 x x    ，并把解集在數軸上表示出來．
解：3x﹣6≤2（7﹣x） ． 3x﹣6≤14﹣2x． 3x+2x≤14+6． 5x≤20． x≤4．
把不等式解集在數軸上表示為
（容易題）50．解方程：
2 1
1
x
x x  

．
解： ( ) ( ) 2 2 1 1 x x x x + = + 2 22 2x x x x + = + 2x =
經檢驗 2 x=- 是原方程的解．
①
②
0 1 2 3 4 54 -3 -2 -1
63
（容易題） 51．如圖，在□ABCD 中，BC＝10，AC＝8，BD＝14．求△AOD 的 周
長．
解：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AD＝BC＝10， AO＝1 2 AC＝4， DO＝1 2 BD＝7． ∴△AOD 的周長＝10＋4＋7＝21．
（容易題）52．已知：如圖，B，A，E 在同一直線上，AC∥BD 且 AC=BE，∠ABC=∠D． 求證：AB=BD． 證明：∵AC∥BD， ∴∠CAB=∠EBD． 在△CAB 和△EBD 中
∵
,
,
.
CAB EBD ABC D AC BD ìÐ =Ð ï ï ï ïÐ =Ð í ï ï ï = ï î ∴△CAB≌△EBD． ∴AB=BD．
（容易題）53．如圖，已知四邊形 ABCD．請在下列四個關系中，選出兩個恰當的關系作為條件， 推出四邊形 ABCD是平行四邊形，并予以證明． 關系：① AD∥BC，② CD AB ， ③   180 CB ，④ C A   ． 已知：在四邊形 ABCD中， ， ， （填序號，寫出一種情況即可） 求證：四邊形 ABCD是平行四邊形．
情形一：選擇 ①，③ 證明：∵   180 CB ，
A
B C
D
第53題
第51題
第 52 題
64
∴AB∥DC ． 又∵ AD∥BC, ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形． 情形二：選擇 ①，④ 證明：∵ AD∥BC， ∴   180 BA ． 又∵ C A   ， ∴   180 BC ． ∴AB∥DC ． ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形． 情形三：選擇 ②，③ 證明：∵   180 CB ， ∴AB∥DC ． 又∵ CD AB ， ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形． 情形四：選擇 ③，④ 證明：∵   180 CB ， ∴AB∥DC． 又∵ C A   ， ∴   180 BA ． ∴ AD∥BC． ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形．
（容易題） 54．數學課上，老師要求學生證明命題： “角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”．以 下是小華解答的部分內容（缺少圖形和證明過程） ，請你把缺少內容補充完整． 已知：點 P 在∠AOB 的角平分線 OC 上，PD⊥OA 于 D,PE⊥OB 于 E． 求證：PD=PE． 證明： 畫圖（如圖所示） ． 證明：∵OC 平分∠AOB，∴∠1=∠2． ∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠3=∠4=90°． ∵OP=OP, ∴△ODP ≌△OEP． ∴PD=PE．
（容易題）55．某公司欲招聘一名工作人員，對甲、乙兩位應聘者進行面試和筆試，他們的成績 （百分制）如下表所示．
 

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第 54 題
65
應聘者 面試 筆試 甲 87 90 乙 91 82 若公司分別賦予面試成績和筆試成績 6 和 4 的權，計算甲、乙兩人各自的平均成績，誰將被 錄取？ 解：由題意得， 甲應聘者的加權平均數是6×87＋4×90 6＋4 ＝88.2． 乙應聘者的加權平均數是6×91＋4×82 6＋4 ＝87.4． ∵88.2＞87.4， ∴甲應聘者被錄取．
（容易題）56．A、B 兩組卡片共 5 張，A 中三張分別寫有數字 2、4、6，B 中兩張分別寫有 3、5． 它
們除數字外沒有任何區別． （1）隨機地從 A 中抽取一張，求抽到數字為 2 的概率； （2）隨機地分別從 A、B 中各抽取一張，請你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結果．現 制定這樣一個游戲規則：若所選出的兩數之積為 3 的倍數，則甲獲勝；否則乙獲勝．請問這樣的
游戲規則對甲乙雙方公平嗎？為什么？
解：（1）P（抽到數字為 2）
3 1 ； （2）不公開，理由如下．畫樹狀圖如下：
從樹狀圖中可知共有 6 個等可能的結果， 而所選出的兩數之積為 3 的倍數的機會有 4 個． ∴ P（甲獲勝） 3 2 6 4  ，而 P（乙獲勝）
3 1
3 21   ．
∵ P（甲獲勝）>P（乙獲勝）, ∴ 這樣的游戲規則對甲乙雙方不公平．
（容易題）57．某市第三中學組織學生參加生命安全知識網絡測試．小明對九年 2 班全體學生的測試 成績進行統計，并繪制了以下不完整的頻數分布表和扇形統計圖． 根據圖表中的信息解答下列問題： （1）求九年 2 班學生的人數； （2）寫出頻數分布表中 a,b 的值； （3）已知該市共有 80000 名中學生參加這次安全知識測試，若規定 80 分以上（含 80 分）為優秀， 估計該市本次測試成績達到優秀的人數； （4） 小明通過該市教育網站搜索發現，全市參加本次測試的中學生中，成績達到優秀有 56320 人． 請
2
3 5
4
3 5
6
3 5
A
B
66
你用所學統計知識簡要說明實際優秀人數與估計人數出現較大偏差的原因． 組別 分數段（x） 頻數 A 0≤x＜60 2 B 60≤x＜70 5 C 70≤x＜80 17 D 80≤x＜90 a E 90≤x≤100 b
（1）學生的人數= 17 34%
=50；
（2）a=12，b=14； （3）80000×（24%+28%）=41600； （4）因為只抽查了九年 2 班測試成績對于全市來講不具有代表性，而抽查的樣本只有 50 名學生， 對于全市 80000 名學生來講不具有廣泛性．
（容易題）58．已知一次函數 y＝kx＋2，當 x＝－1 時，y＝1．求此函數的解析式，并在平面直角
坐標系中畫出此函數的圖像．
解：把 x＝－1，y＝1 代入 y＝kx＋2，得 1＝（－1）k＋2， k＝1 ． 則函數解析式為 y＝x＋2 ．
列表，得
畫圖，得
（中等題）59．如圖，已知 AB 是⊙O 的直徑，點 D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一點，若 AD∥OC，
直線 BC 與⊙O 相交，判斷直線 CD 與⊙O 的位置關系，并說明理由．
證明：連接 OD，
x 0 －2 y 2 0
D 24%
A
B
C 34%
E
第 59 題
67
∵AD∥OC， ∴∠BOC＝∠OAD， ∠COD＝∠ADO． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO． ∴∠BOC＝∠COD． ∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△BOC≌△DOC． ∴∠OCB＝∠OCD． 即 OC 是∠DCB 的平分線． ∴點 O 到直線 CB，CD 的距離相等，記為 d． ∵直線 BC 與⊙O 相交， ∴d＜OB＝OD． ∴直線 DC 與⊙O 相交． （中等題）60．如圖，在△ABC 中，∠C=90，點 O 在 AC 上，
以 OA 為半徑的⊙O 交 AB 于點 D，BD 的垂直平分線交 BC 于
點 E，交 BD 于點 F，連接 DE．
（1）判斷直線 DE 與⊙O 的位置關系，并說明理由；
（2）若 AC=6，BC=8，OA=2，求線段 DE 的長．
解：(1) 直線 DE 與⊙O 相切． 理由如下： 連接 OD． ∵OD=OA，
B
C
O
D
A
第60題
68
∴∠A=∠ODA． ∵EF 是 BD 的垂直平分線， ∴EB=ED． ∴∠B=∠EDB． ∵∠C=90， ∴∠A＋∠B＝90． ∴∠ODA＋∠EDB＝90． ∴∠ODE＝180－90＝90． ∴直線 DE 與⊙O 相切． (2) 連接 OE，設 DE=x，則 EB=ED=x，CE=8-x． ∵∠C=∠ODE=90， ∴ 2 2 2 2 2 OC CE OE OD DE     ． ∴ 2 2 2 2 4 (8 ) 2 x x    ． ∴ 4.75 x ． 即 DE=4.75 ．
（中等題）61．小明家飲水機中原有水的溫度是 20℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱[此過程 中水溫 y (℃)與開機時間 x (分)滿足一次函數關 系]，當加熱到 100℃時自動停止加熱，隨后水溫開 始下降[此過程中水溫 y (℃)與開機時間 x(分)成 反比例關系]，當水溫降至 20℃時，飲水機又自動 開始加熱……，重復上述程序（如圖所示）．根據
圖中提供的信息，解答下列問題： （1）當 0≤x≤8 時，求水溫 y(℃)與開機時間x(分)
的函數關系式； （2）求圖中t的值； （3）若小明在通電開機后即外出散步，請你預測小明散步 45 分鐘回到家時，飲水機內水的
溫度約為多少℃？ 解：（1）當 0≤x≤8 時，設水溫 y(℃)與開機時間x(分)的函數關系式為 y kx b   ，
依題意，得
  
  1008 20 bk b
解得
  
 
20 10
b k ∴ 20 10  xy ． （2）在水溫下降過程中，設水溫 y(℃)與開機時間x(分) 的函數關系式為
x my  ，
20
y(℃) 100
O 8 x(分) t 第61題
69
依題意，得
8 100 m  ，即 800 m ．
∴
x y 800  ． 當 20 y 時，
t 8002 0 ，解得 40 t ． （3）∵45-40=5≤8, ∴當 5 x 時， 70 2051 0  y ． 答：小明在通電開機后外出散步 45 分鐘回到家時，飲水機內水溫約為 70℃．
（中等題）62．為了迎接北京和張家口共同申辦及舉辦 2020 年冬奧會，全長 174 千米的京張高鐵 于 2014 年底開工．按照設計，京張高鐵列車從張家口到北京最快用時比最慢用時少 18 分鐘，最 快列車時速是最慢列車時速的 29 20 倍，求京張高鐵最慢列車的速度是多少？ 解：設京張高鐵最慢列車的速度是 x 千米/時．
由題意，得
60 18
20 29 174-1 74  xx
．
解得 180 x ． 經檢驗， 180 x 是原方程的解，且符合題意． 答：京張高鐵最慢列車的速度是 180 千米/時． （中等題）63．已知正比例函數 ) 0(1  aa xy 與反比例函數 )0(2  k x ky 的圖像在第一象限內交于點 A（2，1）． （1）求a 、 k的值； （2）在直角坐標系中畫出這兩個函數的大致圖像，
并根據圖像直接回答 1 y > 2 y 時x的取值范圍． 解：（1）把點 A（2，1）分別代入 y1=ax 和
x ky 2 中得 2 1a ， 2 k ． （2）由圖像知，當 y1＞y2時，-2＜x＜0 或 x＞2．
（中等題）64．某進口專營店銷售一種“特產”，其成本價是 20 元/千克，根據以往的銷售情況描 出銷量 y（千克/天）與售價 x（元/千克）的關系，如圖所示． （1）試求出 y 與 x 之間的一個函數關系式； （2）利用（1）的結論：①求每千克售價為多少元時，每天可以獲得最大的銷售利潤； ②進口產品檢驗、運輸等過程需耗時 5 天，該“特產”最長的保存期為一個月（30 天），若售價不 低于 30 元/千克，則一次進貨最多只能多少千克？
xy 2 1 1 
x y 2 2 
O x
y
第63題
A(2,1)
1
1 2 3 4 512345 2 3 4 5 -1 -2
-4 -5 -3
70
解：（1）從圖像中可知，此函數近似為一次函數 設此一次函數解析式為 b kxy   （ 0 k ） ．
依題意得：
  
  324 0 383 7 bk bk
，解得：
  
  112 2
b k ∴y 與 x 之間的函數關系式為 112 2  xy ． （2）①設每天可以獲得的銷售利潤為 w 元，依題意得： ( 20) ( 20)( 2 112) w x y x x      
2
2 2 152 2240 2( 38) 648 x x x      
．
∵ 0 2 ，開口向下, ∴當 38 x 元時，每天可以獲得的銷售利潤 w 取得最大值 648 元． ②設一次進貨為 s 千克，依題意得： 25 25( 2 112) 50 2800 s y x x       ． ∵ 0 50 ，s 隨 x 的增大而減小，又 30 x ∴當 30 x 時，s 取得最大值 1300． 故一次進貨最多只能 1300 千克．
（稍難題）65．對某一個函數給出如下定義：若存在實數 0 M  ，對于任意的函數值 y，都滿足 M y M   ，則稱這個函數是有界函數，在所有滿足條件的M 中，其最小值稱為這個函數 的邊界值．例如，下圖中的函數是有界函數，其邊界值是 1． （1）分別判斷函數 1 y x    0x  和   1 4 2y x x     是 不是有界函數？若是有界函數，求其邊界值； （2）若函數 1 y x     a x b b a    ， 的邊界值是 2， 且這個函數的最大值也是 2，求b的取值范圍； （3）將函數   2 1 0y x x m m     ， 的圖像向下平移m 個單位，得到的函數的邊界值是t，當m 在什么范 圍時，滿足 3 1 4 t  ？ 解：（1） 1( 0) y x x = > 不是有界函數， 1( 4 2) y x x = + - < £ 是有界函數，其邊界為 3．
71
（2）∵y=-x+1，∴y 隨 x 的增大而減小， ∵a x b b a    ， ，且函數的最大值是 2， ∴當 x=a 時，2=-a+1，a=-1． 當 x=b 時，y=-b+1，
∵
2 1 2, . b b a ì- £- + < ï ï í ï > ï î
∴-1＜b≤3． （3）若 m＞1，函數向下平移 m 個單位，x=0 時，函數的值小于-1，此時函數的邊界 t 大于 1，與題意不符，故 m≤1． 當 x=-1 時，y=1；當 x=0 時，ymin=0． 將函數   2 1 0y x x m m     ， 的圖像向下平移 m 個單位后，
對應點為（-1,1-m）和(0,-m) ∵ 3 1 1 4 m£ - £ 或 3 1 4 m£- £- ． ∴ 1 0 4 m 或 3 1 4 m ． （稍難題）66．如圖，已知點 A（－1，－2），拋物線 F： 2 2 2 2y x mx m    與直線 x=－2 交于點 P． （1）當拋物線 F 經過點 A 時，求它的表達式； （2）設點 P 的縱坐標為 P y ，求 P y 的最小值，此時拋物線 F 上有兩點 1 1 ( , ) x y ， 2 2( , )x y ，且 1 2 x x  ≤－2，比較 1 y 與 2 y 的大小； （3）已知點 B（0，2），點 C（2，2） ，當拋物線 F 與線段 BC 有公共點時，直接寫 出 m 的取值范圍． 解：(1) ∵拋物線 F 經過點 A（－1，－2）， ∴ 2 2 1 2 2 m m     ． ∴m=-1． ∴拋物線 F 的表達式是 2 2 1 y x x    ． (2)當 x=-2 時， 2 4 4 2Py m m    = 2 ( 2) 2 m  ． ∴當 m=-2 時， P y 的最小值=－2． 此時拋物線 F 的表達式是 2 ( 2) 2y x   ． ∴當 2 x 時，y 隨 x 的增大而減小． ∵ 1 2 x x  ≤－2， 第 65 題 第 66 題
0 37 39 40
32 34
38
售價 x(元/千克)
銷量 y(千克/天)
第 64 題
72
∴ 1 y > 2 y ． (3) 2 0 m   或2 4 m  ．
（稍難題）67．已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與直線y＝－4x＋m相交于第一象限不同的兩點： A（5，n） ，B（e，f） ． （1）若 m＝4，x＜1，畫出一次函數 y＝－4x＋m 圖像； （2）將此拋物線平移，設平移后的拋物線為 y＝－x2＋px＋q 且過點 A， ① 若 b＝4，c＝6，p＝5，是否可以通過平移使拋物線的頂點恰好在直線 y＝－4x＋m 上？請說明理由； ② 若點（1，2）在平移后的拋物線上，且 m－q＝25．在平移過程中，若拋物線 y＝ －x2＋bx＋c 向下平移了 s（s＞0）個單位長度，求 s 的取值范圍． 解：（1）由題得，直線解析式為 y＝－4x＋4 ． 列表，得
畫圖如右． （2）① 解：由題得，平移前的拋物線解析式為 y＝－x2＋4x＋6． 把 A（5，n）代入得，n＝1 ． 把 A（5，1）分別代入 y＝－4x＋m 和 y＝－x2＋5x＋q，得 m＝21，q＝1． ∴直線的解析式為 y＝－4x＋21， 平移后的拋物線解析式為 y＝－x2＋5x＋1． ∴平移后的拋物線的頂點為（5 2
， 29 4 ）． 當 x＝5 2 時，y＝－4x＋21＝11≠29 4 ． ∴不能通過平移，使平移后的拋物線的頂點恰好在直線 y＝－4x＋m 上． ② 解：將 A（5，n）分別代入 y＝－x2＋bx＋c，y＝－4x＋m， 將 A（5，n）， （1，2）分別代入 y＝－x2＋px＋q，得 －25＋5b＋c＝n， －20＋m＝n， －25＋5p＋q＝n， -1＋p＋q＝2 ． 又 m－q＝25 ， 解得 m＝22，n＝2，p＝6，q＝－3，c＝27－5b． ∴直線的解析式為 y＝－4x＋22， 平移前拋物線的解析式為 y＝－x2＋bx＋27－5b ， 平移后拋物線的解析式為 y＝－x2＋6x－3． 設在平移過程中，拋物線向下平移了 s 個單位長度， 又 y＝－x2＋6x－3＝－（x－3）2＋6， y＝－x2＋bx＋27－5b＝－（x－b 2 ）2＋(b2 4 －5b＋27) ，
x 0 1 y 4 0 _ x
_ y
_ O 1
4
y＝－4x＋4（x＜1）
73
∴s＝（b2 4 －5b＋27）－6＝1 4
（b－10）2－4．
當－x2＋bx＋27－5b＝－4x＋22 時，可得 x1＝5，x2＝b－1． ∴B（b－1，－4b＋26） ． ∵A，B 在第一象限且為不同兩點， ∴b－1＞0，－4b＋26＞0 且 b－1≠5． ∴1＜b＜13 2 且 b≠6． 對于 s＝1 4 （b－10）2－4． ∵1 4 ＞0，∴當 b＜10 時，s 隨 b 的增大而減小． ∵1＜b＜13 2 且 b≠6， ∴－15 16 ＜s＜65 4 且 s≠0． ∵s＞0, ∴0＜s＜65 4 ． ∴在平移過程中，拋物線 y＝－x2＋bx＋c 向下平移的單位長度 s 的取值范圍 是 0＜s＜65 4 ． （稍難題）68．如圖，拋物線 C1： x xy 3 23 2  的頂點為 A，與 x 軸的正半軸交于點 B．
（1）將拋物線 C1上的點的橫坐標和縱坐標都擴大到原來的 2 倍，求變換后得到的拋物線
的解析式；
（2）將拋物線 C1上的點（x，y）變為（kx，ky） （|k|＞1），變換后得到的拋物線記作 C2．拋
物線 C2的頂點為 C，點 P 在拋物線 C2上，滿足 S△PAC＝S△ABC， 且∠ACP＝90°． ①當 k＞1 時，求 k 的值； ②當 k＜-1 時，請你直接寫出 k 的值，不必說明理由．
解：（1）∵ 3 )1(3323 2 2   xxxy ，
∴拋物線 C1經過原點 O，A（1， 3）和 B（2，0）三點．
∴變換后得到的拋物線經過原點 O，（2， 3 2 ）和（4，0）三點．
第 68 題
74
∴變換后得到的拋物線的解析式為 x xy 3 2 2 3 2  ．
（2）①當 k＞1 時，∵拋物線 C2經過原點 O， （k， 3k）和（2k，0）三點．
∴拋物線 C2的解析式為 x x k y 3 23 2  ．
∴O，A，C 三點共線，且頂點 C 為（k， 3k） ．
∵S△PAC＝S△ABC， ∴BP∥AC． 過點 P 作 PD⊥x 軸于 D，過 B 作 BE⊥AO 于 E． 依題意得△ABO 是邊長為 2 的正三角形，四邊形 CEBP 是矩形． ∴OE＝1，CE＝BP＝2k－1．
∴BD＝
2 1k ，PD＝ ) 12( 2 3  k ．
∴P（
2 3k ， ) 12( 2 3  k ）．
∴ 2 3 3 3 3 (2 1) ) 2 3( ) 2 2 2 k k k k      （ ．
解得 k＝
2 9
．
②k＝
2 9 ．
（稍難題） 69．在平面直角坐標系 xOy 中，已知點 A（1，m＋1）， B（a，m＋1），C（3，m＋3），D（1，m＋a），m ＞0 ，a＞1． （1）若 AD∥BC ，判斷四邊形 ABCD 的形狀并說明理由；
75
_ y
_ xO
A B
C
D
E
F
G
P
圖 2
（2）若 a＜3，點 P（n－m，n）是四邊形 ABCD 內 的一點，且△PAD 與△PBC 的面積相等，求 n－m 的值． 解：（1）∵A（1，m＋1），B（a，m＋1）， ∴yA＝yB ． ∴AB∥x 軸． ∵A（1，m＋1），D（1，m＋a）， ∴xA＝xD． ∴AD∥y 軸． ∴∠DAB＝90° ． 又 a＞1， ∴AB＝a－1， AD＝a－1． ∴AD＝AB ． 如圖 1， ∵CB∥AD， ∴CB∥y 軸． ∴xC＝xB， ∴a＝3 ． ∴yC＝yD＝m＋3 ． ∴CD∥x 軸． ∴CD∥AB． ∴四邊形 ABCD 是平行四邊形． 又∠DAB＝90°， ∴四邊形 ABCD 是矩形． 又 AD＝AB， ∴四邊形 ABCD 是菱形． ∴四邊形 ABCD 是正方形． （2）設直線 AC 的解析式為 y＝kx＋b， 將 A（1，m＋1），C（3，m＋3）分別代入，可得 k＝1，b＝m． ∴y＝x＋m． ∵當 x＝n－m 時，y＝n－m＋m＝n， ∴點 P（n－m，n）在直線 y＝x＋m 上． 又點 P 在四邊形 ABCD 內， ∴點 P 在線段 AC 上． 如圖 2，過點 P 作 PE⊥x 軸，交 AB 于點 E，作 PF⊥y 軸，交 AD 于點 F， ∵由（1）得，AB∥x 軸，AD∥y 軸， AD＝AB ， ∴PE＝n－m－1，PF＝n－m－1． ∴PE＝PF． O y
x
A B
C
D
第 69 題
_ y
_ xO
A B
CD
圖 1
76
∴S△PAD＝S△PAB ． ∵S△PAD＝S△PBC， ∴S△PAB＝S△PBC． ∴S△PAB＝1 2 S△ABC ． 過點 C 作 CG⊥x 軸，交 AB 延長線于點 G，則 CG＝2． ∵1 2 AB·PE＝1 2 ×1 2 AB·CG． ∴PE＝1 2 CG． ∴n－m－1＝1． ∴n－m＝2．
（稍難題）70．定義：點 P 是四邊形 ABCD 內 ．一點，若三角形△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 均
為等腰三角形，則稱點 P 是四邊形 ABCD 的一個“準中心”． （1）如圖 1，已知點 P 是正方形 ABCD 內的一點，且∠PBC=∠PCB=60°，證明點 P 是正邊 形 ABCD 的一個“準中心”； （2）（1）中除點 P 外，正方形 ABCD 還有幾個“準中心”？并在圖 1 中分別畫出它們； （3）如圖 2，已知∠BAD=60°，AB=AD=6，點 C 是∠BAD 平分線上的動點，問在四邊形 ABCD 的對角線 AC 上最多存在幾個“準中心”點 P（自行畫出示意圖），并求出每個“準 中心”點 P 對應線段 AC 的長．（精確到個位） 參考數據： 3 1.7 » ，sin37.5 0.6，cos37.5 0.8，tan37.5 0.8．
解：（1）證明：∵ABCD 是正方形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB=BC=CD
D
CB
A
P
圖1
B
D
圖2
A
第70題
77
又∵∠PBC=∠PCB=60°， ∴∠BPC=60°． ∴PB=PC=BC=AB=CD，∠PBA=∠PCD=30°, ∴△PBA≌△PCD，
∴PA=PD ． ∴△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 均為等腰三角形．
∴點 P 是正邊形 ABCD 內的一個“準中心”． （2）正方形 ABCD 內還有 4 個“準中心”， （畫圖略）； （3）答：在四邊形 ABCD 的對角線 AC 上最多存在 3 個“準中心”點 P ． ① 如圖 1，當 PA=PB=PC=PD 時，點 P 是“準中心”點． ∵∠BAD=60°，點 C 在∠BAD 的平分線上， ∴∠BAC=30°． ∴∠ACB=∠BPC=60°，∠ABC=90°．
則 AC=
6 4 3 sin60 3 2 AB   
．
② 如圖 2，當 PA=BA=DA，PB=PC=PD 時，點 P 是“準中心”點． 則 PA=6． ∵∠BAD=60°，點 C 在∠BAD 的平分線上， ∴∠BAC=30°． ∴∠APB=75°,
∴∠PCB=
2 1
∠APB=37．5°．
作 BE⊥AC 于點 E．
在 RtΔAEB 中， 3 2 1  ABB E ，
A
B
C
D
P
圖 1
A
B
C
D
P
圖 2
E
78
33c os   BAE ABA E ．
在 RtΔCEB 中，




5.3 7t an 3
tan ECB BEC E ,
∴ 9 5.3 7t an 333    CEA EA C ． ③如圖 3，當 AB=PB=PC=PD=AD 時，點 P 是“準中心”點． 此時四邊形 ABPD 是菱形． 連接 BD，
則 PA=2AE=2AB·cos30°=2×6×
2 3 =6 3,
∴ PC PAA C   16 636   ． （稍難題）71．如圖，△ABC 和△ADE 是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90，點 P 為射線 BD，CE 的交點． （1）求證：BD=CE； （2）若 AB=2，AD=1，把△ADE 繞點 A 旋轉， ①當∠EAC=90時，求 PB 的長； ②直接寫出旋轉過程中線段 PB 長的最小值與最大值． 解：(1)證明：∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90， ∴AB=AC，AD=AE． ∠DAB=90 BAE EAC   ． ∴△ADB≌△AEC． ∴BD=CE ． (2)①如圖 1，當點 E 在 AB 上時，BE=AB-AE=1． ∵∠EAC=90，
A
B
C
D
P
圖 3
E
第 71 題
圖 1
79
∴CE= 2 2 5 AE AC   ． 同(1)可證△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA ． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC ． ∴ PB BE AC CE  ． ∴ 1 2 5 PB  ． ∴ 2 5 5 PB ． ②如圖 2，當點 E 在 BA 延長線上時，BE=3． ∵∠EAC=90， ∴ CE= 2 2 5 AE AC   ． 同(1)可證△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA ． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC ． ∴ PB BE AC CE  ． ∴ 3 2 5 PB  ． ∴ 6 5 5 PB ． 綜上， 2 5 5 PB 或6 5 5 ． (3)PB 長的最小值是 3 1  ，最大值是 3 1  ．
（稍難題）72．已知正方形 ABCD，點 E 在直線 ．．CD 上．
圖 2
80
（1）若 F 是直線 ．．BC 上一點，且 AF⊥AE，求證：AF=AE； （請利用圖 1 所給的圖形加以證明）
（2）寫出（1）中命題的逆命題，并在答題卡指定的區域畫出一個圖形說明該逆命題是假命題； （3）若點 G 在直線 ．．BC 上，且 AG 平分∠BAE，探索線段 BG
， DE
， AE 之間的數量關系，并說
明理由．
解：(1)證明：∵四邊形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠ADC=∠ABF=∠BAD=90°． ∵AE⊥AF, ∴∠EAF=90°=∠BAD． ∴∠BAF=∠DAE． ∴△ABF≌△ADE ． ∴AF=AE． (2)逆命題一：已知:正方形 ABCD 中，E 為直線 CD 上一點，F 為直線 BC 上一點，且 AF=AE．求證： AE⊥AF．（若寫為“若 AF=AE，則 AE⊥AF ．”也可） 畫圖如下（畫出一種即可） ：
逆命題二：已知:正方形 ABCD 中，E 為直線 CD 上一點，AF⊥AE，AF=AE．求證： F 在直線 BC 上． （若寫為“若 AF=AE ，且 AE⊥AF，則 F 在直線 BC 上．”也可）
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
備用圖圖 1
第 72 題
81
畫圖如下（畫出一種即可）：
逆命題三：已知:正方形 ABCD 中，E 為直線 CD 上一點，AF=AE．求證：F 在 直線 BC 上，且 AE⊥AF．（畫圖略）
（3）①如圖 1，當 E 在線段 CD 上時：AE=DE+BG． 證明：過 A 點作 AF⊥AE 交 BC 延長線于 F 點． 由（1）得△ABF≌△ADE， ∴∠1=∠2，AF=AE，BF=DE． ∵AG 平分∠BAE, ∴∠3=∠4． ∴∠1+∠3=∠2+∠4， 即∠FAG=∠DAG． ∵四邊形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC， ∴∠AGF=∠DAG=∠FAG． ∴AF=FG． ∴AE=AF=FG=BG+BF． ∴AE=BG+DE． ②如圖 2，當點 E 在 CD 延長線上時:BG=DE+AE． 證明：過 A 點作 AF⊥AE 交 BC 延長線于 F 點． 同理可證得 AF=FG=AE，BF=DE． ∴AE=AF=FG=BG－BF=BG－DE．
G
E
F
D
CB
A
2 4
3
1
圖 1
1
G
E
F
D
CB
A
2 4
3
圖 2
G
E
F
D
CB
A
圖 3
E
F
D
CB
A
F
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
82
③如圖 3，當 E 在 DC 延長線上時:AE=DE+BG，
證明同①．
綜上所述，線段 BG 、 DE 、 AE 之間的數量關系是： AE=DE+BG 或 AE=BG－DE．
（稍難題）73．若正方形的兩個相鄰頂點在三角形的同一條邊上，其余兩個頂點分別在三角形的 另兩條邊上，則正方形稱為三角形該邊上的內接正方形．△ABC 中，設 BC＝a，AC＝b，AB＝c， 各邊上的高分別記為 ha，hb，hc，各邊上的內接正方形的邊長分別記為 xa，xb，xc． （1）模型探究：如圖，正方形 EFGH 為△ABC 邊 BC 上的內接正方形．
求證：
aa xha 111  ；
（2）特殊應用：若∠BAC＝90°，xb＝xc＝2，求
cb 11  的值； （3）拓展延伸：若△ABC 為銳角三角形，b＜c，請你判斷 xb與 xc的大小，并說明理由． 解：（1）在正方形 EFGH 中． ∵EH∥FG，∴△AEH∽△ABC．
∵AD⊥BC，∴
EH AK BC AD  ．
∴
a
aaa h xh a x   ．∴
aa xha 111  ．
（2）由（1）得：
bb xhb 111  ． ∵∠A＝90°， ∴ c hb  ．∴ 2 111  cb ． （3）xb＞xc．
A
B P C
D
圖 1
E
第 73 題
83
證明：由（1）得：
bb xhb 111  ，
cc xhc 111  ．
∴
b
b b h b bh
x
  ，
c
c c h c ch
x
  ．
∵S＝ c b chb h 2 1 2 1  ，∴ c b chb h  ＝2S． 又∵ A ch b sin  ， A bh c sin  ，
∴
S xchb
xx
cb cb 2 )(11  
S AbcAcb 2 )s in(s in  

S Acb 2 )s in1) ((    ． ∵b＜c， A sin ＜1，
∴ 0 11   cb xx
． ∴xb＞xc．
（稍難題）74．如圖,四邊形 ABCD中, // AD BC , 45 B  o ,P 是BC 邊上一點, PAD △ 的面積為 1 2 , 設 AB x = ,AD y  ． (1)求 y 與x的函數關系式，并畫出該函數的大致圖像；
(2)若 90 APD oÐ = ,求 y 的最小值． 解：(1)如圖 1,過點 A作 AE BC  于點E． 在Rt ABE △ 中, 45 B  o ,AB x  ． ∴ 2 sin 2A E AB B x    ． ∵ 1 1 2 2A PDS AD AE   △ , ∴ 2 1 1 2 2 2 x y   ． ∴ 2 y x  （x>0）． 畫圖如右：
(2)如圖 2，取 AD 的中點，連接PF ，過點P作PH AD  于點H ． ∵PF PH ≥ ,
A
B P C
D
第 74 題
A
B C
D
P
HF
圖 1
84
∴ 2 1 2 2 y x  ． 即 2 2x x  ． 當 2 = 2x x 時，y 有最小值．
此時 x=1，y= 2 ．
∴ y 的最小值為 2 ．
（稍難題）75．定義：三邊長和面積都是整數的三角形稱為“整數三角形”． 數學學習小組的同學從 32 根等長的火柴棒（每根長度記為 1 個單位）中取出若干根，首尾依
次相接組成三角形，進行探究活動． 小亮用 12 根火柴棒，擺成如圖所示的“整數三角形”； 小穎分別用 24 根和 30 根火柴棒擺出直角“整數三角形”； 小輝受到小亮、小穎的啟發，分別擺出三個不同的等腰“整數三角形”． ⑴請你畫出小穎和小輝擺出的“整數三角形”的示意圖； ⑵你能否也從中取出若干根，按下列要求擺出“整數三角形”，如果能，請畫出示意圖；如果
不能，請說明理由． ①擺出等邊“整數三角形”； ②擺出一個非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整數三角形”．
解：⑴小穎擺出如圖 1 所示的“整數三角形”：
小輝擺出如圖 2 所示三個不同的等腰“整數三角形”：
8
6
10 12
5
13
圖 1
4
3 3
5 5 5 5
4 4
3
8 10 10
6 6
圖 2
4
3
5
85
⑵①不能擺出等邊“整數三角形”．理由如下： 設等邊三角形的邊長為 a，則等邊三角形面積為 2 4 3a ． 因為，若邊長 a 為整數，那么面積 2 4 3a 一定非整數． 所以不存在等邊“整數三角形”． ②能擺出如圖 3 所示一個非特殊“整數三角形”：
4 5
12
15
13
圖 3
86
附錄 2：
試卷題型參考
（該試卷題型參考與初中學業水平考試試卷的題序安排、考試內容等方面沒有對
應關系，僅供學校教學及復習參考）
一、選擇題：(本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項 是符合題目要求的) 1．絕對值等于 2 的數是
A．－2 或 2 B．－2 C．2 D．
2 1
2.下列計算中，正確的是 A．a＋a11＝a12 B．5a－4a＝a C．a6÷a5＝1 D．(a2)3＝a5 3.下列各式中，從左邊到右邊屬于因式分解的是 A． 2 ( 1)x x x x + = + B． 2 2 1= ( 2) 1 x x x x     C． 2 2 1=x x  （ -1） D． 2 2 6 9=x x x  （ -3） 4.一個多邊形的內角和是 540°，則這個多邊形是 A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形 5．一只不透明的袋子中裝有 4 個黑球、2 個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出 3 個球，
下列事件為必然事件的是 A. 至少有 1 個球是白球 B. 至少有 1 個球是黑球 C. 至少有 2 個球是黑球 D. 至少有 2 個球是白球
6．如圖，某個函數的圖像由線段 AB 和 BC 組成，其中點 A（0， 4 3 ），B（1， 1 2 ），C（2， 5 3
），則此函
數的最小值是 A．5 3
B．1
C．1 2
D．0
7．如圖，無法 ．．保證△ADE 與△ABC 相似的條件是
（第 6 題）
A
D
B C
E
1
2
（第7題）
87
A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D． AD AE AC AB  8．如圖，在直角坐標系中，點 A 是雙曲線 3 y x  （ 0 x ）上的一個動點，點 B 是 x 軸正半軸上的一個定點，當點 A 的橫坐標逐漸增大時， OAB △ 的面積
將會 A．逐漸減小 B．不變 C．逐漸增大 D．先減小后增大
9.學校機房今年和去年共購置了 100 臺計算機，已知今年購置計算機數量是去年購置計算機數量 的 3 倍，則今年購置計算機的數量是（ ）． A.25 臺 B.50 臺 C.75 臺 D.100 臺 10．如圖，C，D 分別是線段 AB，AC 的中點，分別以點 C，D 為圓心，BC 長為半徑畫弧，兩弧交
于點 M，測量∠AMB 的度數，結果為
A．  80 B．  90 C．  100 D．  105
二、填空題：(本大題共 6 小題，每小題 4 分，共 24 分．把答案填在答題卡的相應位置)
11．計算：(-3)0+3-1= ． 12．如圖是正方體的一種展開圖，其每個面上都標有一個數字，那么在原正方體中，與
數字“2”相對的面上的數字是 ．
13.甲、乙、丙三人進行飛鏢比賽，已知他們每人五次投得的成績如圖，那么
三人中成績最穩定的是 ．
14．已知m，n為兩個連續的整數，且 11 m n   ，則m n   . 15．已知△ABC，∠A=30°，∠B=105°，BC=4，則 AB= ．
（第 12 題）
（第 13 題）
(第 8 題)
x
y
O B
A
A B CD
（第 10 題）
88
16．在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連
線剪去兩個三角形，剩下的部分是如圖所示的四邊形 ABCD，其中 AB=2，BC=4，
CD=3，∠B=∠C=90°，則原三角形紙片的斜邊長是 ．
三、解答題：(本大題共 9 小題，共 86 分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．（8 分）化簡： 3 ( ) 3 x x y xy + - ，并說出化簡過程中所用到的運算律.
18．（8 分）解不等式組
2 1 0 2 3 x x x ，ì + >ï ï í ï < + ï î ，并把解集在數軸上表示出來.
19.（8 分）如圖，矩形 ABCD 中，AC 與 BD 交于點 O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為 E，F．[ 求證：BE=CF．
20． （8 分）如圖，在△ABC 中，AB＝BC，∠A＝25°，點 D 是邊 AB 延長線上的一點．請在圖中畫 出過點 D 且與 BC 平行的直線 DE，并簡述直線 DE 與 BC 平行的理由．
21.（8 分）國務院辦公廳在 2015 年 3 月 16 日發布了《中國足球發展改革總體方案》，方案實施后， 為了解足球知識的普及情況，某校舉行“足球在身邊”的專題調查活動，采取隨機抽樣的方法 進行問卷調查，調查結果分為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個等級， 并將調查結果繪制成如下兩幅統計圖（部分信息未繪出）.
(第 16 題)
D
CB
A
（第 20 題）
（第 19 題）
89
請根據圖中提供的信息，解答下列問題： （1）補齊條形統計圖，并求被調查的學生人數； （2）從該校隨機抽取一名學生，抽中的學生對足球知識是“基本了解”的概率是多少？
22． （10 分）甲乙兩人勻速從同一地點到 1500 米處的圖書館看書，甲出發 5 分鐘后，乙以一定的 速度沿同一路線行走. 設甲乙兩人相距s（米），甲行走的時間為t（分）
， s為t的函數，其函數圖像的一部分如圖所示. （1）求甲行走的速度； （2）當甲出發多少分鐘時，甲、乙兩人相距 360 米？
23.（10 分）如圖，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 為直徑作⊙O 交 BC 于點 D，過點 D 作⊙O 的切 線 EF，交 AB 和 AC 的延長線于 E，F． （1）求證：FE⊥AB； （2）當 AE=6，sin∠CFD=3 5 時，求 EB 的長．
24.(12 分)已知一次函數 1 y kx b   （k≠0）的圖像經過(2,0)，(4,1)兩
人數
非常 了解
不太 了解
比較 了解
等級基 本 了解
不太 了解
非常了解 20%比 較了解
基本了解9 0
60
30
（第21題）
（第23題）
（第22題）
s（米）
t （分）0 5 15 35 25 45 55
150
300
450
（第24題）
90
點，二次函數 2 2 2 4y x ax   （其中 a＞2）．
（1）求一次函數的表達式及二次函數圖像的頂點坐標（用含 a 的代數式表示）； （2）利用函數圖像解決下列問題：
①若
2 5a ，求當 1 0 y  且 2 y ≤0 時，求自變量 x 的取值范圍； ②如果滿足 1 0 y  且 2 y ≤0 時的自變量 x 的取值范圍內恰有一個整數，直接寫出 a 的取值
范圍．
25．（14 分）在正方形 ABCD 中，點 E，F 分別在邊 BC，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°. (1) 將△ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90°，得到△ABG（如圖①）. 求證：△AEG≌△AEF；
(2) 若直線 EF 與 AB，AD 的延長線分別交于點 M，N（如圖②）. 求證：EF2=ME2+NF2； (3) 將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），試探究線段 EF，BE， DF 之間的等量關系，并說明理由.
（第25題）
91
參考答案 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項 是符合題目要求的. 1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．B ； 5．B ； 6．C ； 7．B ； 8．A ； 9．C ； 10．B ． 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 4 分，共 24 分．把答案填在答題卡的相應位置.
11．
3 11 ； 12．4； 13．乙； 14．7 ； 15．4 2 ； 16．10 或4 5． 三、解答題：本大題共 9 小題，共 86 分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17．解：原式= 2 3 3 3 x xy xy   = 2 3x 所用到的運算律有：分配律、加法結合律. 18．解：由①得 1 2 x ， 由②得 3 x ，
則不等式組的解集為
1 3 2 x   . 此不等式組的解集在數軸上表示為：
19.證明：∵四邊形 ABCD 為矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴ BO=CO． ∵BE⊥AC 于 E，CF⊥BD 于 F， ∴∠BEO=∠CFO=90°． 又∵∠BOE=∠COF， ∴△BOE≌△COF． ∴BE=CF．
20．解一：如圖，用量角器和直尺畫∠BDE＝130°,則 BC∥DE.理由如下: ∵ AB＝BC， ∴ ∠C＝∠A＝25°.
92
∴ ∠CBD＝∠C＋∠A＝50°. ∵ ∠BDE＝130°， ∴ ∠CBD＋∠BDE＝180°. ∴ BC∥DE. 解二：如圖，用圓規和直尺作∠BDE＝∠ABC,則 BC∥DE.理由如下: ∵∠BDE＝∠ABC ∴ BC∥DE. 解三：如圖，用圓規和直尺作△FDE≌△ABC,則 BC∥DE. 理由如下: ∵△FDE≌△ABC, ∴∠FDE＝∠ABC 又 ∵∠FDE＝∠BDM ∴∠BDM＝∠ABC ∴BC∥DE. 21. 解：（1）補齊條形統計圖, 300 （2）∵被調查學生中“基本了解”的人數為： 300-（60+90+30）=120（人），
占被調查學生人數的百分比：
%4 0
300 120  ， ∴抽中的學生對足球知識是“基本了解” 的概率是：P=40%（或= 5 2 或 0.4）. 22．解：（1）甲行走的速度為：150 5 30   （米/分）； （2）由圖可知，當 t＝35 時，乙行走的路程為： 30×（35－5）＋150＋450＝1500 米， 則乙行走的速度為：1500÷（35－5）＝50（米/分） ；
人數
非常 了解
不太 了解
比較 了解
等級基 本 了解
90
60
30
120
M
93
設甲出發 t 小時與乙相遇，由30 50( 5) t t = - ，
解得 12.5. t= 當 50 t  時，甲行進了30 50 1500   米. 結合函數圖像可知，當 12.5 t  和 50 t  時， 0 s ；當 35 t  時， 450 s ， ①當12.5 35 t  時，由待定系數法可求： 20 250 s t   ， 令 360 s ，即20 250 360 t  ，解得 30.5 t  ； ②當35< 50 t  時，由待定系數法可求： 30 1500 s t   ， 令 360 s ，即 30 1500 360 t   ，解得 38 t  . ∴甲行走 30.5 分鐘或 38 分鐘時，甲、乙兩人相距 360 米.
23．（1）證明：連接 OD.（如圖） ∵ OC=OD， ∴ ∠OCD=∠ODC. ∵ AB=AC， ∴∠ACB=∠B. ∴ ∠ODC=∠B. ∴ OD∥AB. ∴ ∠ODF=∠AEF. ∵ EF 與⊙O 相切. ∴ OD⊥EF，∴ ∠ODF=90°. ∴∠AEF=∠ODF=90°. ∴ EF⊥AB. （2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF. 在 Rt△AEF 中，sin∠CFD= AE AF
= 3 5
，AE=6.
∴ AF=10. 在 Rt△ODF 中，sin∠CFD= 3 10 5 OD r OF r   
94
解得 r= 15 4
. ∴ AB=AC=2r= 15 2
.
∴ EB=AB－AE= 15 2
－6= 3 2
.
24．解：（1）∵ 一次函數 1 y kx b   （k≠0）的圖像經過(2,0)，(4,1)兩點，
∴
2 0, 4 1. k b k b      
解得
1, 2 1.
k b        ∴ 1 2 1 1   xy ． ∵ 2 22 2 4 )(42 a axa xxy   ，
∴ 二次函數圖像的頂點坐標為 2 ( ,4 ) a a  ．
（2）①當
2 5a 時， 4 522   x xy ． 如圖，因為 1 0 y  且 2 y ≤0，由圖像得 2＜x≤4． ②13 6 ≤a＜ 5 2 ． 25.（1）證明：由旋轉可知：AG=AF，∠GAF=90°. ∵∠EAF=45°, ∴∠GAE=∠EAF=45°. 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF.
（2）證明：在正方形 ABCD 中，有 AD∥BC，∠BAD=90°, ∴∠N=∠CEF=45°. ∴∠AMN=∠N=45°.
G
95
∴△AMN 是等腰直角三角形，AM=AN. 將△ANF 繞著點 A 順時針旋轉 90°， 得到△AMG. 連接 GE.
∴GM=FN，∠AMG=∠N=45°. ∴∠GME=∠AMG+∠AMN=90°. ∴ 2 2 2 GE ME GM   . 又同（1）可證△AEG≌△AEF.
∴EG=EF. ∴EF2=ME2+NF2. （注：也可把△ADF 旋轉到△ABG 進行證明）
（3）如圖，延長 AB，AD，分別交直線 EF 于點 M，N， 同（2）可得△AMN 是等腰直角三角形，∠AMN=∠N=45°，AM=AN.
96
將△ANF 繞著點 A 順時針旋轉 90°，得到△AMG.
連接 GE. 同（2）可證 EF2=ME2+NF2. ∵四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠MBE=∠NDF=90°. ∴△BME 和△DNF 是等腰直角三角形.
∴ME2=2BE2，NF2=2DF2. ∴EF2=2BE2+2DF2 .

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